Постройте график функции $ y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × |x|}{x-4} $. Определите, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $ y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × |x|}{x-4} $. Определите, при каких значениях $ m $ прямая \( y = m…$ Фото задания

Постройте график функции $ y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × |x|}{x-4} $. Определите, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Решение:

1. Построение графика функции:

Дана функция $ y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × |x|}{x-4} $.

Рассмотрим два случая для $ |x| $:

Случай 1: $ x \ge 0 $

Тогда $ |x| = x $, и функция принимает вид:

$ y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × x}{x-4} = \frac{x(0.5x^2 - 2x)}{x-4} = \frac{0.5x^3 - 2x^2}{x-4} $.

Разложим числитель на множители:

$ 0.5x^2 - 2x = 0.5x(x - 4) $.

Тогда $ y = \frac{0.5x × x(x-4)}{x-4} $.

При $ x \ne 4 $ и $ x × (x-4) \ne 0 $, мы можем сократить $ (x-4) $:

$ y = 0.5x^2 $ при $ x \ge 0 $ и $ x \ne 4 $.

Это часть параболы $ y = 0.5x^2 $, начинающаяся с $ x = 0 $.

Найдем значение функции в точке $ x=4 $ для параболы: $ y = 0.5 × 4^2 = 0.5 × 16 = 8 $. Значит, в точке $ x=4 $ будет выколотая точка $ (4; 8) $.

Случай 2: $ x < 0 $

Тогда $ |x| = -x $, и функция принимает вид:

$ y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × (-x)}{x-4} = \frac{-0.5x^3 + 2x^2}{x-4} $.

Так как $ x < 0 $, то $ x \ne 4 $ выполняется автоматически. В этом случае функция равна $ y = -0.5x^2 $.

Это часть параболы $ y = -0.5x^2 $ для $ x < 0 $.

График:

Для $ x > 0 $ и $ x \ne 4 $ график — часть параболы $ y = 0.5x^2 $.

Для $ x < 0 $ график — часть параболы $ y = -0.5x^2 $.

В точке $ x = 0 $ значение $ y = 0.5 × 0^2 = 0 $ и $ y = -0.5 × 0^2 = 0 $, поэтому точка $ (0; 0) $ является началом обеих частей параболы.

В точке $ x = 4 $ функция не определена. График — парабола $ y = 0.5x^2 $, но с выколотой точкой $ (4; 8) $.

2. Определение значений $ m $, при которых прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно одну общую точку:

Прямая $ y = m $ — это горизонтальная прямая.

Рассмотрим поведение графика:

Для $ x < 0 $ график — часть параболы $ y = -0.5x^2 $. Максимальное значение в этой части достигается при $ x > 0 $ (если бы она продолжалась), но для $ x < 0 $ график стремится к $ -∞ $ при $ x ← -∞ $ и идет до $ y = 0 $ при $ x=0 $.
Для $ x > 0 $ и $ x \ne 4 $ график — часть параболы $ y = 0.5x^2 $.
Вершина параболы $ y = 0.5x^2 $ находится в точке $ (0; 0) $.
При $ x \to 4 $ (справа или слева) $ y \to 8 $. У нас есть выколотая точка $ (4; 8) $.

Теперь определим, при каких $ m $ будет одна точка пересечения:

$ m = 0 $: Прямая $ y = 0 $ касается графика в точке $ (0; 0) $ (где обе части параболы начинаются). Это одна точка пересечения.
$ m = 8 $: Прямая $ y = 8 $ пересечёт график в двух точках:

для $ x < 0 $, $ -0.5x^2 = 8 → x^2 = -16 $ (нет решений);
для $ x > 0, x < 4 $, $ 0.5x^2 = 8 → x^2 = 16 → x = 4 $. Но в $ x=4 $ точка выколота.
для $ x > 4 $, $ 0.5x^2 = 8 → x^2 = 16 → x = 4 $. Это тоже не подходит.

Ошибка в рассуждении выше. Пересмотр.

График состоит из двух частей парабол:

$ y = -0.5x^2 $ для $ x < 0 $. Этот график идет от $ -∞ $ до $ 0 $ (не включая $ 0 $ для $ y $, но включая $ y=0 $ при $ x=0 $).
$ y = 0.5x^2 $ для $ x > 0, x < 4 $ и $ x > 4 $.

Анализ пересечений с $ y = m $:

$ m = 0 $: Прямая $ y = 0 $ касается графика в точке $ (0; 0) $. Одна точка.
$ m > 0 $:

Для $ y = 0.5x^2 $ при $ x > 0, x \ne 4 $: $ 0.5x^2 = m → x^2 = 2m → x = ±√{2m} $.
Так как нам нужен $ x > 0 $, то $ x = √{2m} $.
Если $ √{2m} < 4 $ (т.е. $ 2m < 16 → m < 8 $), то есть одна точка пересечения.
Если $ √{2m} = 4 $ (т.е. $ m = 8 $), то $ x = 4 $. Но точка $ (4; 8) $ выколота.
Если $ √{2m} > 4 $ (т.е. $ m > 8 $), то есть одна точка пересечения.

$ m < 0 $:

Для $ y = -0.5x^2 $ при $ x < 0 $: $ -0.5x^2 = m → x^2 = -2m $. Так как $ m < 0 $, то $ -2m > 0 $, и $ x = ±√{-2m} $.
Нам нужен $ x < 0 $, поэтому $ x = -√{-2m} $.
Для любого $ m < 0 $ существует ровно одно такое $ x $.

Итого:

Одна точка пересечения:

$ m = 0 $ (точка $ (0; 0) $).
$ m < 0 $ (для каждого $ m $ своя точка на ветви $ y = -0.5x^2 $).
$ 0 < m < 8 $ (точка $ (√{2m}; m) $ на ветви $ y = 0.5x^2 $ для $ x \in (0; 4) $).
$ m > 8 $ (точка $ (√{2m}; m) $ на ветви $ y = 0.5x^2 $ для $ x > 4 $).

Две точки пересечения:

$ m = 8 $ (точка $ (-√{16}; 8) = (-4; 8) $ на ветви $ y = -0.5x^2 $ и ни одной точки на правой ветви, так как $ x=4 $ выколота).

Перепроверим случай $ m=8 $:

Если $ m=8 $:

Для $ x<0 $: $ -0.5x^2 = 8 → x^2 = -16 $ (нет решений).

Для $ x>0, x \ne 4 $: $ 0.5x^2 = 8 → x^2 = 16 → x = ± 4 $.

Поскольку $ x>0 $, то $ x=4 $. Но точка $ x=4 $ выколота. Таким образом, при $ m=8 $ нет точек пересечения на правой ветви.

Значит, при $ m=8 $ есть ноль точек пересечения.

Вернемся к задаче: ровно одна общая точка.

Мы нашли, что одна точка пересечения достигается при $ m=0 $.

Для $ m<0 $, есть ровно одна точка пересечения.

Для $ 0 < m < 8 $, есть ровно одна точка пересечения (на ветви $ y=0.5x^2 $ где $ x < 4 $).

Для $ m > 8 $, есть ровно одна точка пересечения (на ветви $ y=0.5x^2 $ где $ x > 4 $).

Что происходит при $ m=8 $?

При $ m=8 $, мы искали $ x $ такие, что $ y=8 $.

Для $ x<0 $: $ -0.5x^2=8 $ -> $ x^2=-16 $ (нет решений).

Для $ x>0 $ и $ x \ne 4 $: $ 0.5x^2=8 $ -> $ x^2=16 $ -> $ x=± 4 $. Так как $ x>0 $, то $ x=4 $. Но точка $ x=4 $ выколота. Значит, при $ m=8 $ нет пересечений.

Таким образом, прямая $ y=m $ имеет ровно одну общую точку с графиком, когда:

$ m=0 $ (точка $ (0;0) $)
$ m<0 $ (одна точка на левой ветви параболы)
$ 0 < m < 8 $ (одна точка на правой ветви параболы, где $ 0 < x < 4 $)
$ m > 8 $ (одна точка на правой ветви параболы, где $ x > 4 $)

Значит, $ m $ может быть любым числом, кроме $ m=8 $ (где нет пересечений) и, возможно, $ m < 0 $ (где есть пересечения).

Переосмыслим функцию:

$ y = \frac{0.5x(x-4)|x|}{x-4} $

Если $ x>0 $, $ y = 0.5x(x-4) $ при $ x \ne 4 $. Это парабола $ y=0.5x^2-2x $, ветви вверх, вершина $ x = -(-2)/(2 × 0.5) = 2 $, $ y = 0.5(2^2)-2(2) = 2-4 = -2 $. Точка $ (2; -2) $ — минимум. Точка $ (0; 0) $ и $ (4; 0) $ — корни. Точка $ (4; 0) $ — выколотая.

Если $ x<0 $, $ y = \frac{0.5x(x-4)(-x)}{x-4} = -0.5x(x-4) = -0.5x^2+2x $. Это парабола $ y=-0.5x^2+2x $, ветви вниз, вершина $ x = -2/(2 × -0.5) = 2 $. Но нас интересует $ x<0 $.

Итак, график состоит из двух частей:

1. Для $ x>0, x \ne 4 $: $ y = 0.5x^2 - 2x $.

- Ветви вверх, вершина $ (2; -2) $.

- Точка $ (0; 0) $ — начало.

- Точка $ (4; 0) $ — выколотая.

2. Для $ x<0 $: $ y = -0.5x^2 + 2x $.

- Ветви вниз.

- При $ x \to -∞ $, $ y \to -∞ $.

- При $ x \to 0 $ (слева), $ y \to 0 $.

Анализ пересечений с $ y=m $:

$ m = -2 $: Прямая $ y=-2 $ пересекает график в одной точке (вершина $ (2; -2) $).
$ m = 0 $: Прямая $ y=0 $ пересекает график в одной точке $ (0; 0) $ (левая ветвь идет к 0, правая начинается с 0).
$ m > 0 $: Прямая $ y=m $ пересекает левую ветвь (где $ y $ только $ < 0 $ для $ x<0 $) — НЕТ пересечений. Пересекает правую ветвь $ y = 0.5x^2 - 2x $. $ 0.5x^2 - 2x = m → 0.5x^2 - 2x - m = 0 $. $ x^2 - 4x - 2m = 0 $. $ x = \frac{4 ± √{16 + 8m}}{2} = 2 ± √{4 + 2m} $.

$ x_1 = 2 + √{4 + 2m} $ (всегда $ > 2 $).
$ x_2 = 2 - √{4 + 2m} $ (всегда $ < 2 $).

Так как $ x>0 $, оба корня $ x_1 $ и $ x_2 $ положительны. Но нам нужно $ x \ne 4 $.

Если $ x_1 = 4 $, то $ 2 + √{4 + 2m} = 4 → √{4 + 2m} = 2 → 4 + 2m = 4 → 2m = 0 → m = 0 $. Этот случай уже рассмотрен.

Если $ x_2 = 4 $, то $ 2 - √{4 + 2m} = 4 → -√{4 + 2m} = 2 $ (нет решений).

Итак, при $ m > 0 $:

$ x_1 = 2 + √{4 + 2m} $ всегда дает одну точку пересечения.
$ x_2 = 2 - √{4 + 2m} $ дает вторую точку пересечения, если $ x_2 \ne 4 $.

Таким образом, при $ m > 0 $ всегда две точки пересечения.

$ m < -2 $: Прямая $ y=m $ пересекает левую ветвь $ y=-0.5x^2+2x $ в двух точках (так как ветви вниз и идут к $ -∞ $).
$ -2 < m < 0 $: Прямая $ y=m $ пересекает левую ветвь $ y=-0.5x^2+2x $ в двух точках.
$ m = -2 $: Одна точка пересечения (вершина $ (2; -2) $).
$ m = 0 $: Одна точка пересечения $ (0; 0) $.

Нам нужно ровно одна общая точка.

Это происходит при $ m = -2 $ (вершина правой параболы) и $ m = 0 $ (точка $ (0;0) $).

Проверим еще раз.

График: $ y = 0.5x^2 - 2x $ для $ x>0, x \ne 4 $ и $ y = -0.5x^2 + 2x $ для $ x<0 $.

Случай $ x<0 $: $ y = -0.5x^2 + 2x $. Это парабола с ветвями вниз, вершина при $ x=2 $ (не в области $ x<0 $). При $ x \to 0^- $ $ y \to 0 $. При $ x \to -∞ $ $ y \to -∞ $. Вся эта ветка находится ниже оси $ Ox $, кроме точки $ (0;0) $.

Случай $ x>0, x \ne 4 $: $ y = 0.5x^2 - 2x $. Парабола с ветвями вверх, вершина $ (2; -2) $. Пересекает ось $ Ox $ в $ x=0 $ (но мы рассматриваем $ x>0 $) и $ x=4 $ (выколото).

Пересечения с $ y=m $:

$ m = -2 $: Одна точка $ (2; -2) $ (вершина правой параболы).
$ m = 0 $: Одна точка $ (0; 0) $ (начало правой параболы, левая ветвь стремится к 0).
$ m > 0 $: Две точки пересечения с правой параболой $ y = 0.5x^2 - 2x $.
$ m < -2 $: Две точки пересечения с правой параболой $ y = 0.5x^2 - 2x $.
$ -2 < m < 0 $: Две точки пересечения с правой параболой $ y = 0.5x^2 - 2x $.
$ m < 0 $ и $ m \ne -2 $: Одна точка пересечения с левой параболой $ y = -0.5x^2 + 2x $ (для $ x<0 $).

Резюме:

1. $ m = -2 $ -> Одна точка (вершина правой параболы).

2. $ m = 0 $ -> Одна точка (начало правой параболы).

3. $ m < 0 $ и $ m \ne -2 $ -> Две точки (одна на левой, одна на правой). То есть, если $ m<0 $ и $ m \ne -2 $, то две точки.

4. $ m > 0 $ -> Две точки (обе на правой).

Только одна точка пересечения:

$ m = -2 $
$ m = 0 $

Ответ: $ m = -2 $ и $ m = 0 $.

Постройте график функции \( y = \frac{(0.5x^2 - 2x) × |x|}{x-4} \). Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение: