Постройте график функции $y=\frac{(0.5x^2-2x)|x|}{x-4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=\frac{(0.5x^2-2x)|x|}{x-4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с…$ Фото задания

Постройте график функции $y=\frac{(0.5x^2-2x)|x|}{x-4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.

Accepted Answer

Учитывая $|x|$, функцию запишем по частям:

\[y=\begin{cases}\dfrac{0.5x^3-2x^2}{x-4},&x<0,\\[6pt]\dfrac{0.5x^3-2x^2}{x-4},&x\ge0,\end{cases}\qquad x\ne4.\]

Числитель раскладывается: $0.5x^2-2x=0.5x(x-4)$. Поэтому при $x\ne4$:

\[y=0.5x|x|=\begin{cases}-0.5x^2,&x<0,\\0.5x^2,&x\ge0,\end{cases}\]

при этом точка $(4;8)$ исключена из графика. График состоит из ветви $y=-0.5x^2$ при $x<0$, ветви $y=0.5x^2$ при $x\ge0$, с выколотой точкой $(4;8)$.

Значения функции: при $x<0$ получаем $y<0$, а при $x\ge0$ — все значения $y\ge0$, кроме $8$, поскольку значение $y=8$ достигается только при $x=4$, которое запрещено. Следовательно, прямая $y=m$ не пересекает график только при $m=8$.

Ответ: $m=8$.

Постройте график функции \(y=\frac{(0.5x^2-2x)|x|}{x-4}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

Ответ: