Постройте график функции y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Необходимо построить график кусочной функции:

\[ y = \begin{cases} x^2 + 6, & \text{если } x \ge -4 \\ 3, & \text{если } x < -4 \end{cases} \]

1. График функции \( y = x^2 + 6 \) для \( x \ge -4 \):

Это часть параболы \( y = x^2 + 6 \) с вершиной в точке \( (0, 6) \), ветви направлены вверх. Нам нужна только часть графика, где \( x \) больше или равен -4.

Найдем значение функции в точке \( x = -4 \):

\[ y = (-4)^2 + 6 = 16 + 6 = 22 \]

Таким образом, график начинается в точке \( (-4, 22) \) и идёт вверх.

2. График функции \( y = 3 \) для \( x < -4 \):

Это горизонтальная прямая \( y = 3 \), но только для значений \( x \) меньше -4.

Построение графика:

График состоит из двух частей:

• Горизонтальная прямая \( y = 3 \) при \( x < -4 \).
• Часть параболы \( y = x^2 + 6 \) при \( x \ge -4 \), начинающаяся с точки \( (-4, 22) \).

Условие: прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых горизонтальная прямая \( y = m \) пересекает построенный график ровно один раз.

Рассмотрим, где могут быть такие пересечения:

• С частью параболы \( y = x^2 + 6 \) при \( x \ge -4 \):

Эта часть графика начинается в точке \( (-4, 22) \) и уходит вверх. Её минимальное значение — 22. Поэтому, если \( m \) будет больше или равен 22, прямая \( y = m \) будет пересекать эту часть параболы ровно в одной точке.

• С частью прямой \( y = 3 \) при \( x < -4 \):

Эта часть графика — это луч горизонтальной прямой \( y = 3 \) для \( x < -4 \). Если \( m = 3 \), то прямая \( y = 3 \) будет совпадать с этой частью графика, что даст бесконечное число точек пересечения. Если \( m \) не равен 3, то прямая \( y = m \) не будет пересекать эту часть графика.

Итак, чтобы прямая \( y = m \) имела ровно одну общую точку с графиком, \( m \) должно быть больше или равно 22.

Ответ: \( m \ge 22 \).