Постройте график функции y = x² + 14x − 3|x + 8| + 48 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по определению:

При x < −8: |x + 8| = −x − 8, поэтому y = x² + 17x + 72 = (x + 8)(x + 9). На этой части график — участок параболы с вершиной (−8.5; −0.25).

При x ≥ −8: |x + 8| = x + 8, поэтому y = x² + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8). На этой части функция возрастает от значения 0 при x = −8.

Для −0.25 < m < 0 горизонтальная прямая пересекает левый участок дважды, а правый не пересекает. При m = 0 получаются две точки пересечения: x = −9 и x = −8. При остальных m число пересечений также не равно трём.

Ответ: таких значений m нет.