Постройте график функции \(y=x^2+11x-4|x+6|+30\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком три общие точки.

Раскроем модуль:

при \(x\ge -6\): \(|x+6|=x+6\), поэтому \(y=x^2+7x+6\);

при \(x<-6\): \(|x+6|=-(x+6)\), поэтому \(y=x^2+15x+54\).

Следовательно, график задаётся функцией

\[y=\begin{cases}x^2+15x+54,&x<-6,\\x^2+7x+6,&x\ge -6.\end{cases}\]

В точке стыка: \(y(-6)=12\). Левая ветвь возрастает при \(x<-6\), её значения меньше 12. Правая ветвь — парабола с вершиной

\[x_0=-\frac{7}{2},\qquad y_0=\left(-\frac72\right)^2+7\left(-\frac72\right)+6=-\frac{25}{4}.\]

Для горизонтальной прямой \(y=m\) левая ветвь даёт одну точку при \(m<12\). Правая ветвь даёт две точки при \(-\frac{25}{4}

\[\boxed{-\frac{25}{4}

Для построения отметьте вершины парабол: \(\left(-\frac{15}{2},-\frac94\right)\) для левой ветви и \(\left(-\frac72,-\frac{25}{4}\right)\) для правой; ветви соединяются в точке \((-6,12)\).

Ответ: \(m\in\left(-\frac{25}{4};12\right)\).