В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Обозначим через \(O\) центр описанной окружности треугольника \(ABC\), а через \(H\) — точку пересечения его высот.

Так как \(BH\perp AC\), угол между прямыми \(BH\) и \(AC\) равен \(90^\circ\). Поскольку \(\angle ABC=60^\circ\), угол между прямыми \(BH\) и \(BC\) равен \(30^\circ\).

Из свойства центра описанной окружности: центральный угол \(AOC\), опирающийся на хорду \(AC\), равен удвоенному вписанному углу \(ABC\):

\[\angle AOC=2\angle ABC=120^\circ.\]

Следовательно, в равнобедренном треугольнике \(AOC\)

\[\angle OAC=\angle OCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.\]

Таким образом, угол между прямыми \(AO\) и \(AC\) равен \(30^\circ\), а угол между прямыми \(AH\) и \(AC\) равен \(90^\circ\). Поэтому \(\angle OAH=60^\circ\).

Аналогично получаем \(\angle OCH=60^\circ\). Значит, \(\angle OAH=\angle OCH\), поэтому точки \(A\), \(C\), \(O\), \(H\) лежат на одной окружности.

Что и требовалось доказать.