Постройте график функции \( y = x^2 - 3|x| - 10 \). Какое наибольшее число точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Функция \( y = x^2 - 3|x| - 10 \) является чётной, так как \( y(-x) = (-x)^2 - 3|-x| - 10 = x^2 - 3|x| - 10 = y(x) \). График симметричен относительно оси ординат.

Рассмотрим случай, когда \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \).

Функция принимает вид: \( y = x^2 - 3x - 10 \).

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

\[ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

\[ y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) - 10 = 2.25 - 4.5 - 10 = -12.25 \]

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (y=0):

\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

\[ (x - 5)(x + 2) = 0 \]

Получаем \( x = 5 \) и \( x = -2 \). Так как мы рассматриваем \( x \ge 0 \), то точка пересечения с осью абсцисс — \( (5, 0) \).

Точка пересечения с осью ординат (x=0): \( y = 0^2 - 3(0) - 10 = -10 \). Точка \( (0, -10) \).

Для \( x < 0 \), график является отражением графика для \( x > 0 \) относительно оси ординат. Таким образом, для \( x < 0 \), мы имеем параболу \( y = (-x)^2 - 3(-x) - 10 = x^2 + 3x - 10 \).

Теперь построим полный график.

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \). Чтобы найти наибольшее число точек пересечения, нужно определить, сколько раз прямая \( y = k \) может пересечь график функции.

Вершина параболы \( y = x^2 - 3x - 10 \) при \( x > 0 \) находится в точке \( (1.5, -12.25) \).

Так как функция симметрична, у параболы \( y = x^2 + 3x - 10 \) для \( x < 0 \), вершина будет в точке \( (-1.5, -12.25) \).

Наименьшее значение функции равно \( -12.25 \).

Прямая \( y = k \) будет пересекать график в наибольшем числе точек, если она проходит через максимум или между двумя ветвями параболы. В данном случае, так как у параболы есть две ветви (для \( x > 0 \) и \( x < 0 \)), а также точка пересечения с осью ординат, прямая может пересечь график в следующих случаях:

• Если \( k < -12.25 \), то прямая не пересечет график.
• Если \( k = -12.25 \), то прямая коснется обеих вершин, то есть будет 2 точки пересечения.
• Если \( -12.25 < k < -10 \), то прямая пересечет каждую из двух ветвей графика (для \( x>0 \) и \( x<0 \)) по два раза, итого 4 точки пересечения.
• Если \( k = -10 \), то прямая пройдет через точку \( (0, -10) \) и пересечет каждую ветвь по два раза, итого 4 точки пересечения.
• Если \( k > -10 \), то прямая пересечет каждую ветвь графика по два раза, итого 4 точки пересечения.

Максимальное число точек пересечения равно 4.

Ответ: 4.