В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CF. Докажите, что углы CFH и CAH равны.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник BHF C. Углы \( \angle BFC \) и \( \angle BHC \) являются прямыми, так как CF и AH — высоты треугольника ABC.

2. В четырёхугольнике BHF C углы \( \angle BFC = 90^{\circ} \) и \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Сумма этих двух углов равна \( 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

3. Если сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна \( 180^{\circ} \), то этот четырёхугольник является вписанным в окружность. Следовательно, точки B, H, F, C лежат на одной окружности.

4. Углы \( \angle CFH \) и \( \angle CBH \) являются углами, опирающимися на одну дугу BH в окружности BHF C. Следовательно, \( \angle CFH = \angle CBH \).

5. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол \( \angle CAH \) и угол \( \angle CBH \) являются острыми углами прямоугольного треугольника AHB (или ABC, если рассматривать угол C).

6. В прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом \( \angle B \) при вершине B, если AC - гипотенуза, но это не так, ABC - произвольный треугольник, AH и CF - высоты), углы \( \angle CAH \) и \( \angle CBH \) являются комплементарными, то есть их сумма равна \( 90^{\circ} \).

7. В прямоугольном треугольнике AHB, \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ} \). То есть \( \angle CAH + \angle CBH = 90^{\circ} \).

8. Аналогично, в прямоугольном треугольнике BFC, \( \angle BCF + \angle CBF = 90^{\circ} \). То есть \( \angle BCA + \angle CBA = 90^{\circ} \).

9. Из равенства \( \angle CFH = \angle CBH \) (из пункта 4) и \( \angle CAH = \angle CBH \) (из пункта 7), следует, что \( \angle CFH = \angle CAH \).

Что и требовалось доказать.