Решите систему уравнений \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\ xy = -16 \end{cases}\)

Решение:

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = \frac{-16}{x} \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{-16}{x}\right)^2 = 68 \]

\[ x^2 + \frac{256}{x^2} = 68 \]

Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)):

\[ x^4 + 256 = 68x^2 \]

\[ x^4 - 68x^2 + 256 = 0 \]

Сделаем замену переменной \( t = x^2 \), где \( t > 0 \):

\[ t^2 - 68t + 256 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600 \]

\[ \sqrt{D} = 60 \]

Найдем корни для \( t \):

\[ t_1 = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64 \]

\[ t_2 = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь найдем \( x \) из \( t = x^2 \):

Если \( t_1 = 64 \), то \( x^2 = 64 \), следовательно \( x = 8 \) или \( x = -8 \).

Если \( t_2 = 4 \), то \( x^2 = 4 \), следовательно \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из \( y = \frac{-16}{x} \):

• Если \( x = 8 \), то \( y = \frac{-16}{8} = -2 \).
• Если \( x = -8 \), то \( y = \frac{-16}{-8} = 2 \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{-16}{2} = -8 \).
• Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{-16}{-2} = 8 \).

Проверим полученные пары в первом уравнении:

• \( 8^2 + (-2)^2 = 64 + 4 = 68 \) — верно.
• \( (-8)^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68 \) — верно.
• \( 2^2 + (-8)^2 = 4 + 64 = 68 \) — верно.
• \( (-2)^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68 \) — верно.

Ответ: \( (8; -2), (-8; 2), (2; -8), (-2; 8) \).