Постройте график функции \(y=x^2-|4x+1|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль:

\[y=\begin{cases}x^2+4x+1,&x<-\frac14,\\x^2-4x-1,&x\ge-\frac14.\end{cases}\]

Обе части являются параболами. Левая часть возрастает до вершины \((-2,-3)\), а при \(x=-\frac14\) принимает значение \(\frac1{16}\). Правая часть имеет вершину \((2,-5)\), а в точке \(x=-\frac14\) также принимает значение \(\frac1{16}\).

Для уровня \(y=m\): левая ветвь даёт две точки при \(-3

Ровно три общие точки получаются, когда одна часть даёт две точки, а другая — одну: \(m=-3\) или \(m=-5\).

Ответ: \(m=-5\) или \(m=-3\).