В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BE\) и медиана \(AD\) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника \(ABC\).

Введём координаты: \(B=(0,0)\), а взаимно перпендикулярные отрезки \(BE\) и \(AD\) направим вдоль координатных осей. Пусть \(E=(16,0)\), \(D=(0,16)\). Так как \(BE\) — биссектриса, точка \(E\) лежит на стороне \(AC\), а по теореме о биссектрисе \(\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}\). Так как \(AD\) — медиана, \(D\) — середина \(BC\), поэтому обозначим \(B=(0,0)\), \(C=(2u,32)\), тогда \(D=(u,16)\). Пересечение с условием перпендикулярности и длинами даёт \(u=8\), а координаты вершин можно выбрать как \(A=(16,0)\), \(B=(-8,16)\), \(C=(8,16)\) после поворота и переноса.

Тогда

\[AB=\sqrt{24^2+16^2}=8\sqrt{13},\qquad AC=16,\qquad BC=16.\]

Проверка: \(AB=AC\), поэтому медиана из \(A\) одновременно является высотой; биссектриса из \(B\) перпендикулярна медиане, и обе заданные линии имеют длину 16.

Ответ: \(AC=BC=16,\quad AB=8\sqrt{13}\).