Постройте график функции \(y=x^2-5x-5|x-2|+6\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль:

при \(x<2\): \(|x-2|=2-x\), поэтому \(y=x^2-5x-5(2-x)+6=x^2-4\);

при \(x\ge2\): \(|x-2|=x-2\), поэтому \(y=x^2-5x-5(x-2)+6=x^2-10x+16\).

Следовательно,

\[y=\begin{cases}x^2-4,&x<2,\\x^2-10x+16,&x\ge2.\end{cases}\]

Левая ветвь — часть параболы с вершиной \((0;-4)\), причём \(x<2"); её значения: \(y<0\) при \(x<2\), а минимум равен \(-4\). Правая ветвь имеет вершину \((5;-9)\) и начинается в точке \((2;0)\).

Число пересечений с прямой \(y=m\): левая ветвь даёт две точки при \(-4

Ровно три общие точки получаются, когда левая ветвь пересекается дважды, а правая — один раз:

\[ -4

либо левая ветвь пересекается один раз, а правая — дважды:

\[m=-4.\]

Таким образом, при \(-4

Ответ: \(m=-4\).