Постройте график функции y = {x^2+6x+7, если x>=-4; x+10, если x<-4} и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

• Построение графика:
• Для x >= -4, функция y = x^2 + 6x + 7. Это парабола. Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -6/(2*1) = -3. Значение y в вершине: y = (-3)^2 + 6*(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2. Точка вершины (-3; -2).
• При x = -4, y = (-4)^2 + 6*(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1. Точка (-4; -1).
• Для x < -4, функция y = x + 10. Это прямая.
• При x = -4, y = -4 + 10 = 6. Точка (-4; 6).
• Анализ пересечений с y = m:
• График состоит из части параболы (с вершиной в (-3; -2) и проходящей через (-4; -1)) и луча прямой (начинаясь от точки (-4; 6) и идущей влево).
• Прямая y = m будет иметь две общие точки с графиком, если она находится между значением вершины параболы и значением в точке разрыва на x=-4.
• Таким образом, -2 < m < 6.

Ответ: При -2 < m < 6