Постройте график функции y = (x⁴-5x²+4)/(x+2)(x-1) и определите, при каких значениях параметра c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

Числитель: \( x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) \).

Знаменатель: \( (x + 2)(x - 1) \).

При \( x \neq -2 \) и \( x \neq 1 \), функция принимает вид: \( y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)} = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2 \).

Таким образом, график функции — это парабола \( y = x^2 - x - 2 \) с выколотыми точками при \( x = -2 \) и \( x = 1 \).

Найдем значения \( y \) в выколотых точках:

• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \). Точка выколота: (-2; 4).
• При \( x = 1 \): \( y = (1)^2 - (1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 \). Точка выколота: (1; -2).

График функции — это парабола \( y = x^2 - x - 2 \), вершины которой находятся в точках (-2; 4) и (1; -2).

Чтобы найти, при каких значениях \( c \) прямая \( y = c \) имеет с графиком ровно одну общую точку, рассмотрим различные случаи:

1. Вершина параболы: Найдем вершину параболы \( y = x^2 - x - 2 \). Абсцисса вершины \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \). Ордината вершины \( y_в = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} \).
2. Уровень вершины: Если \( c = -\frac{9}{4} \), то прямая \( y = c \) касается параболы в её вершине, то есть имеет одну общую точку.
3. Уровни выколотых точек:
• Если \( c = 4 \), прямая \( y = 4 \) пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота (x=-2). Поэтому остается одна точка пересечения.
• Если \( c = -2 \), прямая \( y = -2 \) пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота (x=1). Поэтому остается одна точка пересечения.

Ответ: c = -\( \frac{9}{4} \), c = 4, c = -2.