Постройте график функции y = x²-|6x+7|. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

1. Рассмотрим функцию \( y = x^2 - |6x + 7| \).
2. Раскроем модуль:
• Случай 1: \( 6x + 7 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ -\frac{7}{6} \). В этом случае \( |6x + 7| = 6x + 7 \). Функция принимает вид \( y = x^2 - (6x + 7) = x^2 - 6x - 7 \).
• Случай 2: \( 6x + 7 < 0 \), то есть \( x < -\frac{7}{6} \). В этом случае \( |6x + 7| = -(6x + 7) = -6x - 7 \). Функция принимает вид \( y = x^2 - (-6x - 7) = x^2 + 6x + 7 \).
3. Построим график функции:
• Для \( x ≥ -\frac{7}{6} \): \( y = x^2 - 6x - 7 \). Это парабола с вершиной в точке \( x = -\frac{-6}{2\cdot 1} = 3 \). \( y(3) = 3^2 - 6\cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \). Вершина в точке (3, -16).
• Для \( x < -\frac{7}{6} \): \( y = x^2 + 6x + 7 \). Это парабола с вершиной в точке \( x = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3 \). \( y(-3) = (-3)^2 + 6\cdot (-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \). Вершина в точке (-3, -2).
• Отметим точку \( x = -\frac{7}{6} \) (примерно -1.17).
• При \( x = -\frac{7}{6} \) для первой ветви: \( y = (-\frac{7}{6})^2 - 6(-\frac{7}{6}) - 7 = \frac{49}{36} + 7 - 7 = \frac{49}{36} \)
• При \( x = -\frac{7}{6} \) для второй ветви: \( y = (-\frac{7}{6})^2 + 6(-\frac{7}{6}) + 7 = \frac{49}{36} - 7 + 7 = \frac{49}{36} \)
4. График функции состоит из двух ветвей парабол, сшивающихся в точке \( (-\frac{7}{6}, \frac{49}{36}) \).
5. Чтобы прямая \( y = m \) имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через вершину одной из ветвей и пересекать другую ветвь в двух точках.
6. Вершина первой ветви (при \( x ≥ -\frac{7}{6} \)) находится в точке (3, -16).
7. Вершина второй ветви (при \( x < -\frac{7}{6} \)) находится в точке (-3, -2).
8. Если \( y = m \) проходит через вершину \( (-3, -2) \), то \( m = -2 \). В этом случае прямая \( y = -2 \) пересекает правую ветвь параболы \( y = x^2 - 6x - 7 \) в двух точках, так как \( -2 > -16 \). Всего будет три точки.
9. Если \( y = m \) проходит через вершину \( (3, -16) \), то \( m = -16 \). В этом случае прямая \( y = -16 \) пересекает левую ветвь параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) в двух точках (так как \( -16 < -2 \)), и сама является вершиной правой ветви. Всего будет три точки.

Ответ: \( m = -2 \) или \( m = -16 \).