Постройте график функции y = { x² + 6x + 9, если x ≥ −5; 20/x, если x < -5. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две точки пересечения.

Решение:

Задан график кусочно-заданной функции:

\( y = \begin{cases} x^2 + 6x + 9, & \text{если } x \ge -5 \\ \frac{20}{x}, & \text{если } x < -5 \end{cases} \)

1. Построение графика первой части функции: \( y = x^2 + 6x + 9 \) при \( x \ge -5 \).

Эта функция является параболой. Преобразуем её: \( y = (x + 3)^2 \).

Вершина параболы находится в точке \( (-3, 0) \).

Найдем значение функции на границе области: при \( x = -5 \), \( y = (-5 + 3)^2 = (-2)^2 = 4 \). Точка \( (-5, 4) \) — начало первой ветви параболы.

Построим несколько точек для \( x \ge -5 \):

• При \( x = -5 \), \( y = 4 \).
• При \( x = -3 \), \( y = 0 \) (вершина).
• При \( x = -1 \), \( y = (-1 + 3)^2 = 4 \).
• При \( x = 0 \), \( y = (0 + 3)^2 = 9 \).

2. Построение графика второй части функции: \( y = \frac{20}{x} \) при \( x < -5 \).

Это гипербола. В области \( x < -5 \), функция отрицательна.

Найдем значение функции на границе области: при \( x = -5 \), \( y = \frac{20}{-5} = -4 \). Точка \( (-5, -4) \) — конец второй ветви гиперболы.

Построим несколько точек для \( x < -5 \):

• При \( x = -5 \), \( y = -4 \).
• При \( x = -10 \), \( y = \frac{20}{-10} = -2 \).
• При \( x = -20 \), \( y = \frac{20}{-20} = -1 \).

3. Анализ количества точек пересечения прямой \( y = m \) с графиком.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.

Одна точка пересечения:

• Если \( m = 0 \), прямая \( y = 0 \) пересекает параболу в вершине \( (-3, 0) \).
• Если \( m > 4 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках, но одна ветвь параболы идёт вверх неограниченно.

Две точки пересечения:

• Если \( 0 < m < 4 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках.
• Если \( m < -4 \), прямая \( y = m \) пересекает гиперболу в двух точках.

Нет точек пересечения:

• Если \( -4 \le m \le 0 \), прямая \( y = m \) не имеет точек пересечения с графиком.

Одна точка пересечения (повторение):

• Если \( m = 4 \), прямая \( y = 4 \) пересекает параболу в двух точках \( (-5, 4) \) и \( (-1, 4) \).

Одна точка пересечения (особый случай):

• Если \( m < -4 \), прямая \( y = m \) пересекает гиперболу в двух точках.

Две точки пересечения (повторение):

• Если \( m > 4 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках.

Вывод:

Прямая \( y = m \) имеет две точки пересечения с графиком, если \( m \) находится в интервалах \( (-∞, -4) \) (пересечение с гиперболой) или \( (0, 4) \) (пересечение с параболой).

Прямая \( y = m \) имеет одну точку пересечения с графиком, если \( m = 0 \) (пересечение с параболой в вершине) или \( m=4 \) (пересечение с параболой в двух точках, но это значение является граничным для гиперболы).

Чтобы прямая y = m имела одну или две точки пересечения, нужно рассмотреть следующие случаи:

Одна точка пересечения:

• \( m = 0 \) (касание параболы в вершине).

Две точки пересечения:

• \( m < -4 \) (пересечение с гиперболой).
• \( 0 < m < 4 \) (пересечение с параболой).
• \( m = 4 \) (пересечение с параболой в двух точках).
• \( m > 4 \) (пересечение с параболой в двух точках).

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет одну или две точки пересечения, если \( m \) принадлежит объединению интервалов \( (-∞, -4) \), \( (0, ∞) \).

Важно: при \( m = 4 \) получается две точки пересечения с параболой. При \( m = 0 \) — одна точка пересечения с параболой. При \( m < -4 \) — две точки пересечения с гиперболой.

Ответ: прямая \( y = m \) имеет одну или две точки пересечения с графиком при \( m \) принадлежащем \( (-∞, -4) \) \( ∪ \) \( (0, ∞) \).