Решите уравнение (x - 1)(x² + 6x + 9) = 5(x + 3).

Решение:

Дано уравнение: \( (x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3) \).

1. Заметим, что \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( (x - 1)(x + 3)^2 = 5(x + 3) \).
3. Перенесём всё в левую часть: \( (x - 1)(x + 3)^2 - 5(x + 3) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x + 3) \): \( (x + 3) [(x - 1)(x + 3) - 5] = 0 \).
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3 \).
6. Упростим выражение в квадратных скобках: \( [x^2 + 2x - 3 - 5] = [x^2 + 2x - 8] \).
7. Таким образом, уравнение примет вид: \( (x + 3)(x^2 + 2x - 8) = 0 \).
8. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
9. Первый множитель: \( x + 3 = 0 \) \( → x_1 = -3 \).
10. Второй множитель: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \). Решим это квадратное уравнение.
11. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).
12. Найдём корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \).
13. \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
14. \( x_3 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Ответ: -4; -3; 2.