Постройте график функции y=(x-3)(x²+6x+8) / x+2 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим функцию. Разложим квадратный трехчлен \( x^2 + 6x + 8 \) на множители: Найдем корни уравнения \( x^2 + 6x + 8 = 0 \). Дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \) Корни: \[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4 \] Следовательно, \( x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) \) Тогда функция примет вид: \[ y = \frac{(x - 3)(x + 2)(x + 4)}{x + 2} \] При \( x
  e -2 \) функция упрощается до \( y = (x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12 \)
• Шаг 2: Построим график функции \( y = x^2 + x - 12 \) с выколотой точкой при \( x = -2 \) Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: \[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} = -0.5 \] \[ y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 12 = 0.25 - 0.5 - 12 = -12.25 \] Вершина параболы: \( (-0.5; -12.25) \) Найдем нули функции: \[ x^2 + x - 12 = 0 \] Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \) Корни: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \] График пересекает ось x в точках \( (3; 0) \) и \( (-4; 0) \). Найдем значение функции при \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^2 + (-2) - 12 = 4 - 2 - 12 = -10 \] Выколотая точка: \( (-2; -10) \)

• Шаг 3: Определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Это произойдет, когда прямая касается графика в вершине параболы или проходит через выколотую точку. Таким образом, \( m = -12.25 \) или \( m = -10 \)

Ответ: m = -12.25, m = -10