Постройте график функции y=\begin{cases}x^2-10x+25 \text{ при } x \geq 4, \\ x-3 \text{ при } x < 4.\end{cases} Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения задачи необходимо построить график заданной функции и определить, при каких значениях $$\(m\)$$ прямая $$\(y = m\)$$ пересекает график ровно в двух точках.

Заданная функция кусочно-задана:

$$\(y = x^2 - 10x + 25\)$$ при $$\(x \geq 4\)$$

$$\(y = x - 3\)$$ при $$\(x < 4\)$$

Преобразуем первое уравнение: $$\(y = (x - 5)^2\)$$. Это парабола с вершиной в точке $$\((5; 0)\)$$.

Второе уравнение $$\(y = x - 3\)$$ является линейной функцией.

Найдем значение первой функции при $$\(x = 4\)$$: $$\(y = (4 - 5)^2 = 1\)$$.

Найдем значение второй функции при $$\(x = 4\)$$: $$\(y = 4 - 3 = 1\)$$.

Обе функции непрерывны в точке $$\(x = 4\)$$, где $$\(y = 1\)$$.

Теперь нужно определить, при каких значениях $$\(m\)$$ прямая $$\(y = m\)$$ пересекает график ровно в двух точках.

1. Если $$\(m < 0\)$$, прямая $$\(y = m\)$$ не пересекает параболу.

2. Если $$\(m = 0\)$$, прямая $$\(y = 0\)$$ пересекает параболу в одной точке $$\((5; 0)\)$$, но не пересекает линию $$\(y = x - 3\)$$ при $$\(x < 4\)$$.

3. Если $$\(0 < m < 1\)$$, прямая $$\(y = m\)$$ пересекает параболу в двух точках, и также пересекает линию $$\(y = x - 3\)$$ при $$\(x < 4\)$$ в одной точке. Таким образом, всего три точки пересечения.

4. Если $$\(m = 1\)$$, прямая $$\(y = 1\)$$ пересекает параболу в точке $$\((4; 1)\)$$ и имеет общее значение с прямой $$\(y = x - 3\)$$ при $$\(x = 4\)$$. Тогда одна общая точка.

5. Если $$\(m > 1\)$$, то $$\(y = m\)$$ пересекает только параболу в двух точках.

Прямая $$\(y = m\)$$ имеет с графиком функции ровно две общие точки при $$\(m > 1\)$$.

Ответ: $$\(m > 1\)$$