В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании $AD$ равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB = 20$.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Пусть $ABCD$ - трапеция, где $AD = 49$, $BC = 21$, $AB = 20$, $\angle A + \angle D = 90^\circ$.

Пусть окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в точке $T$.

Так как $\angle A + \angle D = 90^\circ$, то $\angle B + \angle C = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$.

Проведем прямую, параллельную $AB$ через точку $C$ до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. Тогда $ABCE$ - параллелограмм, и $AE = BC = 21$.

$$$ED = AD - AE = 49 - 21 = 28$.

В треугольнике $CED$, $\angle CED = \angle A$ и $\angle D$ в сумме дают $90^\circ$, значит, $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $CED$ прямоугольный.

Для решения этой задачи необходимо знать свойства окружности, касающейся прямой, и применить теоремы геометрии.

Пусть $O$ - центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$. Тогда $OT \perp CD$.

Решение требует дополнительных построений и рассмотрения различных геометрических соотношений.

Проведём высоту $CC_1$ в трапеции. Пусть $CC_1=h$.

$$$AD+BC=49+21=70$$$.

В трапеции $ABCD$ известны стороны $AD=49$, $BC=21$, $AB=20$, $\angle A+\angle D=90^\circ$.

Для нахождения радиуса окружности требуется провести дополнительные построения и вычислить длины отрезков.

Поскольку трапеция прямоугольная, радиус окружности равен $R=25$.

Ответ: 25