Постройте график функции y=\frac{|x|-1}{|x|-x²}. Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.

Ответ: k = -1, k = 0

Рассмотрим функцию y = |x| - 1 / |x| - x²

1. Область определения:

Определим область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:

|x| - x² ≠ 0

|x|(1 - |x|) ≠ 0

x ≠ 0 и |x| ≠ 1

x ≠ 0 и x ≠ ±1

Область определения: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞)

2. Преобразование функции:

Рассмотрим два случая:

a) x > 0: |x| = x

y = \frac{x - 1}{x - x^2} = \frac{x - 1}{x(1 - x)} = -\frac{x - 1}{x(x - 1)} = -\frac{1}{x}

б) x < 0: |x| = -x

y = \frac{-x - 1}{-x - x^2} = \frac{-(x + 1)}{-x(1 + x)} = \frac{x + 1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x}

3. График функции:

Функция имеет вид:

\[y = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}\]

Это гипербола с исключенными точками x = ±1 и x = 0.

4. Прямая y = kx:

Прямая y = kx проходит через начало координат (0, 0).

5. Анализ пересечений:

Прямая не имеет общих точек с графиком, если она проходит через исключенные точки или если она касается графика в точках, которые не принадлежат области определения.

a) Для x > 0: y = -\frac{1}{x}

kx = -\frac{1}{x}

kx^2 = -1

x^2 = -\frac{1}{k}

Для отсутствия решений k должно быть положительным (k > 0).

b) Для x < 0: y = \frac{1}{x}

kx = \frac{1}{x}

kx^2 = 1

x^2 = \frac{1}{k}

Для отсутствия решений k должно быть отрицательным (k < 0).

Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком, когда k = -1 и k = 0.

Ответ: k = -1, k = 0