22. Постройте график функции y=1/2(|x/4 +4/x|). Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для решения задачи необходимо построить график функции $$y=\frac{1}{2}\left|\frac{x}{4} + \frac{4}{x}\right|$$, а затем определить, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Рассмотрим функцию $$f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$$.
2. Найдем производную функции $$f(x)$$: $$f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$$.
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$$.
4. Вычислим значения функции в критических точках: $$f(4) = \frac{4}{4} + \frac{4}{4} = 1 + 1 = 2$$ и $$f(-4) = \frac{-4}{4} + \frac{4}{-4} = -1 - 1 = -2$$.
5. Теперь рассмотрим функцию $$g(x) = |f(x)| = \left|\frac{x}{4} + \frac{4}{x}\right|$$.
6. Функция $$g(x)$$ будет иметь минимум в точках $$x = \pm 4$$, где $$g(4) = |2| = 2$$ и $$g(-4) = |-2| = 2$$.
7. Наконец, рассмотрим функцию $$y = \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}\left|\frac{x}{4} + \frac{4}{x}\right|$$.
8. Функция $$y$$ будет иметь минимум в точках $$x = \pm 4$$, где $$y(4) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$ и $$y(-4) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$.

Горизонтальная прямая $$y=m$$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если она проходит через точку минимума или касается асимптоты. В данном случае, функция имеет минимум в $$y=1$$.

Ответ: $$m = 0$$ и $$m = 1$$.