4. Постройте график функции y = { x² - 2x + 4 при x ≥ -1, -9/x при x < -1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию: \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x + 4, & x \geq -1 \\ -\frac{9}{x}, & x < -1 \end{cases} \] 1. Для ( x \geq -1 ): ( y = x^2 - 2x + 4 ). Это парабола. Найдем вершину параболы: ( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ) ( y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 ) Вершина параболы в точке (1, 3). При ( x = -1 ): ( y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 4 = 1 + 2 + 4 = 7 ) 2. Для ( x < -1 ): ( y = -\frac{9}{x} ). Это гипербола. При ( x = -1 ): ( y = -\frac{9}{-1} = 9 ). Так как x < -1, значение 9 не включается. Но можно увидеть, что при приближении к -1, функция стремится к 9. При ( x \to -\infty ): ( y \to 0 ). Теперь определим значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. * Прямая ( y = m ) имеет одну общую точку с параболой, когда ( m = 3 ) (вершина параболы). * Прямая ( y = m ) имеет одну общую точку с гиперболой, если ( m = 7 ) (точка соединения ветвей, где x=-1 ). * Прямая ( y = m ) имеет одну общую точку с графиком функции, если 0 < m < 3 ( так как x < -1, и y стремиться к 0, y никогда не станет равным 0, поэтому прямая не будет пересекать график в 0 ) Ответ: m = 3, m > 7