Постройте график функции y = { x - 2,5, если x < 2; -x + 1,5, если 2 ≤ x ≤ 3; x - 5, если x > 3. } Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос:

Фото задания

Постройте график функции y = { x - 2,5, если x < 2; -x + 1,5, если 2 ≤ x ≤ 3; x - 5, если x > 3. } Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Решение

Построим график заданной кусочно-линейной функции.

1. Функция \( y = x - 2.5 \) при \( x < 2 \)

Это прямая. Найдем значения в граничных точках:

При \( x = 2 \), \( y = 2 - 2.5 = -0.5 \). Точка \( (2, -0.5) \) — открытая (не входит в график).
Возьмем точку левее, например, \( x = 0 \): \( y = 0 - 2.5 = -2.5 \). Точка \( (0, -2.5) \).

2. Функция \( y = -x + 1.5 \) при \( 2 \le x \le 3 \)

Это отрезок прямой. Найдем значения в граничных точках:

При \( x = 2 \), \( y = -2 + 1.5 = -0.5 \). Точка \( (2, -0.5) \) — замкнутая (входит в график).
При \( x = 3 \), \( y = -3 + 1.5 = -1.5 \). Точка \( (3, -1.5) \) — замкнутая (входит в график).

3. Функция \( y = x - 5 \) при \( x > 3 \)

Это прямая. Найдем значение в граничной точке:

При \( x = 3 \), \( y = 3 - 5 = -2 \). Точка \( (3, -2) \) — открытая (не входит в график).
Возьмем точку правее, например, \( x = 5 \): \( y = 5 - 5 = 0 \). Точка \( (5, 0) \).

Теперь построим график на основе этих точек и линий.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком нашей функции, она должна пересекать его в двух местах. Анализируя график, мы видим, что такие прямые будут располагаться между значениями \( y \) на "изломах" графика.

Значения \( y \) в точках излома:

На стыке первой и второй функций (при \( x = 2 \)): \( y = -0.5 \).
На стыке второй и третьей функций (при \( x = 3 \)): \( y = -1.5 \) (значение второй функции) и \( y = -2 \) (значение, к которому стремится третья функция).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки, если ее значение \( m \) находится строго между минимальным и максимальным значением на участке \( 2 ≤ x ≤ 3 \), но при этом не совпадает с крайними значениями этого участка. Также, две точки будут, если прямая проходит через точку \( (2, -0.5) \) и пересекает правую часть графика (где \( x>3 \)).

Рассмотрим возможные случаи:

Если \( m = -0.5 \), то прямая \( y = -0.5 \) будет иметь две точки пересечения: одну на стыке первой и второй функции (которая входит в график), и одну на графике \( y = x - 2.5 \) (так как \( -0.5 = x - 2.5 → x = 2 \), но эта часть графика для \( x<2 \), значит, эта точка не учитывается, но есть еще одна точка на \( y = -x + 1.5 \), где \( -0.5 = -x + 1.5 → x = 2 \). Таким образом, только одна точка \( (2, -0.5) \).
Если \( m \) находится между \( -1.5 \) и \( -2 \) (исключая \( -2 \) и включая \( -1.5 \) ), то прямая пересечет отрезок \( y = -x + 1.5 \) и правую ветвь \( y = x - 5 \). Это даст две точки.
Если \( m = -1.5 \), то прямая \( y = -1.5 \) будет касаться конца отрезка \( y = -x + 1.5 \) (точка \( (3, -1.5) \)), и пересечет правую ветвь \( y = x - 5 \) (так как \( -1.5 = x - 5 → x = 3.5 \)). Это тоже две точки.

Более точно, рассмотрим значения \( y \) в ключевых точках:

\( x=2 \): \( y = -0.5 \) (для \( x<2 \) и \( 2 ≤ x ≤ 3 \))
\( x=3 \): \( y = -1.5 \) (для \( 2 ≤ x ≤ 3 \))
При \( x → 3^+ \): \( y → -2 \) (для \( x>3 \))

Чтобы получить ровно две точки пересечения с горизонтальной прямой \( y = m \), необходимо, чтобы \( m \) было:

Строго больше \( -0.5 \) и меньше \( -1.5 \). В этом случае прямая пересечет первую ветвь (левее \( x=2 \)) и вторую ветвь (отрезок \( 2 ≤ x ≤ 3 \)).
Равно \( -1.5 \). В этом случае прямая пересечет отрезок \( 2 ≤ x ≤ 3 \) в точке \( (3, -1.5) \) и правую ветвь \( x > 3 \).
Строго больше \( -2 \) и меньше \( -1.5 \). В этом случае прямая пересечет отрезок \( 2 ≤ x ≤ 3 \) и правую ветвь \( x > 3 \).

Объединяя эти случаи, получаем, что две общие точки будут при \( m \) находящемся в интервале \( (-0.5, -1.5] \) или \( (-2, -1.5] \).

Уточним, при \( m = -0.5 \) прямая \( y = -0.5 \) пересекает график в точке \( (2, -0.5) \) (которая является стыком первой и второй ветвей). Она также пересечет первую ветвь \( y = x-2.5 \) при \( -0.5 = x-2.5 → x=2 \), но \( x<2 \) для этой ветви, поэтому эта точка не подходит. Таким образом, при \( m=-0.5 \) только одна точка.

Рассмотрим интервал \( (-0.5, -1.5] \). Если \( m = -0.5 \) - одна точка. Если \( m \) чуть меньше \( -0.5 \), то прямая пересечет левую ветвь \( y = x-2.5 \) и отрезок \( y = -x+1.5 \). Две точки.

Если \( m = -1.5 \), то прямая \( y = -1.5 \) пересекает отрезок \( y = -x+1.5 \) в точке \( (3, -1.5) \) и правую ветвь \( y=x-5 \) в точке \( (3.5, -1.5) \). Две точки.

Если \( m \) чуть больше \( -2 \) (т.е. \( m → -2^+ \)), то прямая пересечет отрезок \( y = -x+1.5 \) и правую ветвь \( y=x-5 \). Две точки.

Если \( m → -2 \), то правая ветвь \( y=x-5 \) приближается к точке \( (3, -2) \) (не включая ее), а отрезок \( y = -x+1.5 \) находится выше.

Итак, ровно две общие точки будут, когда \( m \) находится в интервале \( (-0.5, -1.5] \) или \( (-2, -1.5] \). Это значит, что \( m \) лежит в диапазоне \( (-0.5, -2) \) при \( m ≤ -1.5 \).

Правильный ответ: \( m ∈ (-2; -1.5] \cup (-0.5; -1.5] \).

Необходимо пересмотреть логику. Прямая \( y=m \) имеет ровно две точки пересечения, когда она находится между значениями \( y \) на "изломах".

Ключевые точки:

\( (2, -0.5) \) - точка, куда стремится первая ветвь и откуда начинается вторая.
\( (3, -1.5) \) - конец второй ветви.
\( (3, -2) \) - точка, к которой стремится третья ветвь.

Чтобы получить ровно две точки, \( m \) должно быть:

Между \( y \) значением первой ветви при \( x → 2^- \) (т.е. \( -0.5 \)) и \( y \) значением второй ветви при \( x=3 \) (т.е. \( -1.5 \)). То есть \( m ∈ (-0.5, -1.5) \). В этом случае прямая пересекает первую и вторую ветви.
Равно \( -1.5 \). Прямая \( y = -1.5 \) пересекает вторую ветвь (конец) и третью ветвь.
Между \( y \) значением второй ветви при \( x=3 \) (т.е. \( -1.5 \)) и \( y \) значением третьей ветви при \( x → 3^+ \) (т.е. \( -2 \)). Но \( -1.5 \) больше \( -2 \). Значит, \( m ∈ (-2, -1.5) \). В этом случае прямая пересекает вторую и третью ветви.

Объединяя эти интервалы, получаем \( m ∈ (-2, -1.5] \cup (-0.5, -1.5) \).

Однако, если \( m = -0.5 \), то пересекается только одна точка \( (2, -0.5) \). Поэтому интервал \( (-0.5, -1.5) \) верен.

Если \( m \) равно \( -1.5 \), то пересекаются точки \( (3, -1.5) \) и \( (3.5, -1.5) \).

Если \( m \) лежит между \( -2 \) и \( -1.5 \), то пересекаются две точки.

Таким образом, \( m ∈ (-2, -1.5] \cup (-0.5, -1.5) \).

Ответ: \( m ∈ (-2; -1.5] \cup (-0.5; -1.5) \).