Практическая часть №4. В параллелограмме ABCD AB ≠ BC и ∠A — острый. Из вершин B и D к стороне AC проведены перпендикуляры BK и DM. Доказать, что BMDK — параллелограмм.

Поскольку BK ⟂ AC и DM ⟂ AC, то BK ∥ DM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABK и CDM. В параллелограмме AB = CD, а ∠BAK = ∠DCM, поскольку AB ∥ CD и AK, CM лежат на AC. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому BK = DM и AK = CM.

Точки K и M лежат на AC. Из равенства AK = CM следует, что середина отрезка KM совпадает с серединой AC. Диагонали параллелограмма ABCD — AC и BD — пересекаются и делятся пополам; следовательно, середина AC является также серединой BD. Значит, диагонали KM и BD четырёхугольника BMDK делятся точкой пересечения пополам. Поэтому BMDK — параллелограмм.

Доказано.