Представьте дробь $$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}$$ в виде суммы двух дробей со знаменателями x + 4 и x - 2.

Представим данную дробь в виде суммы двух дробей:

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2}$$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)} = \frac{Ax - 2A + Bx + 4B}{(x+4)(x-2)} = \frac{(A+B)x + (4B - 2A)}{(x+4)(x-2)}$$

Теперь приравняем числители:

$$5x - 1 = (A+B)x + (4B - 2A)$$

Получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при x и свободные члены:

$$\begin{cases} A + B = 5 \\ 4B - 2A = -1 \end{cases}$$

Выразим A из первого уравнения: $$A = 5 - B$$

Подставим это во второе уравнение:

$$4B - 2(5 - B) = -1$$ $$4B - 10 + 2B = -1$$ $$6B = 9$$ $$B = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Теперь найдем A:

$$A = 5 - B = 5 - 1.5 = 3.5$$

Таким образом, искомое представление дроби имеет вид:

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{3.5}{x+4} + \frac{1.5}{x-2} = \frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$$

Или

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{3.5}{x+4} + \frac{1.5}{x-2}$$