При каких значениях a и b равенство $$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$$ является тождеством?

Чтобы равенство было тождеством, нужно привести правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{ax - 2a + bx - b}{(x-1)(x-2)} = \frac{(a+b)x - (2a+b)}{(x-1)(x-2)}$$

Теперь приравняем числители:

$$6x = (a+b)x - (2a+b)$$

Для того, чтобы равенство выполнялось при всех значениях x, коэффициенты при x должны быть равны, и свободные члены должны быть равны нулю. Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 6 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$$

Выразим b из первого уравнения: $$b = 6 - a$$

Подставим это во второе уравнение:

$$2a + (6 - a) = 0$$ $$a + 6 = 0$$ $$a = -6$$

Теперь найдем b:

$$b = 6 - a = 6 - (-6) = 12$$

Таким образом, равенство является тождеством при

$$\boxed{\begin{aligned} a = -6 \\ b = 12 \end{aligned}}$$