Представьте многочлен в виде произведения многочленов или степени двучлена 7. a) m³ - n³ = б) 27 + a³ = в) р⁹ + 64 = г) 1/8 c⁶ - d¹² =

Задание 7

Будем использовать формулы суммы и разности кубов, а также разность квадратов.

• а) $$m^3 - n^3$$
  Это разность кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$.
  Здесь $$a=m$$ и $$b=n$$.
  Решение: $$\(m-n)(m^2+mn+n^2)
  onelinea$$
• б) $$27 + a^3$$
  Это сумма кубов: $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$.
  Здесь $$a^3=27$$ (значит $$a=3$$) и $$b^3=a^3$$ (значит $$b=a$$).
  Решение: $$\(3+a)(9-3a+a^2)
  onelinea$$
• в) $$p^9 + 64$$
  Сначала представим как сумму кубов: $$p^9 = (p^3)^3$$.
  Это сумма кубов: $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$.
  Здесь $$a=p^3$$ и $$b^3=64$$ (значит $$b=4$$).
  Решение: $$\(p^3+4)((p^3)^2 - p^3 \times 4 + 4^2)
  onelinea$$ = $$\(p^3+4)(p^6-4p^3+16)
  onelinea$$.
• г) $$\frac{1}{8} c^6 - d^{12}$$
  Это разность квадратов, где $$a^2 = \frac{1}{8} c^6$$ и $$b^2 = d^{12}$$.
  Сначала представим $$a^2$$ и $$b^2$$: $$a = \sqrt{\frac{1}{8} c^6} = \frac{1}{\sqrt{8}} c^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}} c^3$$. Это не очень удобно. Попробуем представить как разность кубов.
  $$c^6 = (c^2)^3$$, $$d^{12} = (d^4)^3$$.
  Это разность кубов: $$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$$.
  Пусть $$A^3 = \frac{1}{8} c^6$$, тогда $$A = \frac{1}{2} c^2$$.
  Пусть $$B^3 = d^{12}$$, тогда $$B = d^4$$.
  Проверим: $$2AB = 2 \times (\frac{1}{2} c^2) \times d^4 = c^2 d^4$$. Средний член должен быть $$AB = \frac{1}{2} c^2 d^4$$.
  Так как в задании стоит знак минус, и мы видим, что $$c^6$$ и $$d^{12}$$ являются квадратами $$(c^3)^2$$ и $$(d^6)^2$$, а также кубами $$(\frac{1}{2}c^2)^3$$ и $$(d^4)^3$$.
  Попробуем разность квадратов: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$.
  Здесь $$a^2 = \frac{1}{8} c^6$$ и $$b^2 = d^{12}$$.
  Тогда $$a = \sqrt{\frac{1}{8} c^6} = \frac{c^3}{2\sqrt{2}}$$ и $$b = d^6$$.
  Это не упрощается красиво.
  Перечитаем внимательно: $$\frac{1}{8} c^6 - d^{12}$$.
  Это похоже на разность кубов, где $$A = \frac{1}{2} c^2$$ и $$B = d^4$$.
  $$(A)^3 = (\frac{1}{2} c^2)^3 = \frac{1}{8} c^6$$.
  $$(B)^3 = (d^4)^3 = d^{12}$$.
  Значит, это разность кубов $$A^3 - B^3$$.
  Решение: $$\((\frac{1}{2} c^2 - d^4)((\frac{1}{2} c^2)^2 + \frac{1}{2} c^2 d^4 + (d^4)^2)
  onelinea$$ = $$\((\frac{1}{2} c^2 - d^4)(\frac{1}{4} c^4 + \frac{1}{2} c^2 d^4 + d^8)
  onelinea$$.

Ответ: а) $$\(m-n)(m^2+mn+n^2)
onelinea$$; б) $$\(3+a)(9-3a+a^2)
onelinea$$; в) $$\(p^3+4)(p^6-4p^3+16)
onelinea$$; г) $$\((\frac{1}{2} c^2 - d^4)(\frac{1}{4} c^4 + \frac{1}{2} c^2 d^4 + d^8)
onelinea$$