7. При каких значениях а значение выражения (a+1)-60+4 a является целым?

Выясним, при каких значениях $$a$$ выражение $$\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}$$ является целым.

Упростим выражение:

$$\frac{(a+1)^2-6a+4}{a} = \frac{a^2+2a+1-6a+4}{a} = \frac{a^2-4a+5}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{4a}{a} + \frac{5}{a} = a - 4 + \frac{5}{a}$$

Выражение будет целым, если $$\frac{5}{a}$$ - целое число.

Делители числа 5: $$1, -1, 5, -5$$.

Тогда, если $$a = 1$$, то $$\frac{5}{a} = \frac{5}{1} = 5$$, следовательно, $$a-4+\frac{5}{a} = 1-4+5 = 2$$ - целое число.

Если $$a = -1$$, то $$\frac{5}{a} = \frac{5}{-1} = -5$$, следовательно, $$a-4+\frac{5}{a} = -1-4-5 = -10$$ - целое число.

Если $$a = 5$$, то $$\frac{5}{a} = \frac{5}{5} = 1$$, следовательно, $$a-4+\frac{5}{a} = 5-4+1 = 2$$ - целое число.

Если $$a = -5$$, то $$\frac{5}{a} = \frac{5}{-5} = -1$$, следовательно, $$a-4+\frac{5}{a} = -5-4-1 = -10$$ - целое число.

Ответ: $$a = 1, -1, 5, -5$$