7. При каких значениях р значение выражения (2p+1)-3p+2 является целым? P

Выясним, при каких значениях $$p$$ выражение $$\frac{(2p+1)^2-3p+2}{p}$$ является целым.

Упростим выражение:

$$\frac{(2p+1)^2-3p+2}{p} = \frac{4p^2+4p+1-3p+2}{p} = \frac{4p^2+p+3}{p} = \frac{4p^2}{p} + \frac{p}{p} + \frac{3}{p} = 4p + 1 + \frac{3}{p}$$

Выражение будет целым, если $$\frac{3}{p}$$ - целое число.

Делители числа 3: $$1, -1, 3, -3$$.

Тогда, если $$p = 1$$, то $$\frac{3}{p} = \frac{3}{1} = 3$$, следовательно, $$4p+1+\frac{3}{p} = 4+1+3 = 8$$ - целое число.

Если $$p = -1$$, то $$\frac{3}{p} = \frac{3}{-1} = -3$$, следовательно, $$4p+1+\frac{3}{p} = -4+1-3 = -6$$ - целое число.

Если $$p = 3$$, то $$\frac{3}{p} = \frac{3}{3} = 1$$, следовательно, $$4p+1+\frac{3}{p} = 12+1+1 = 14$$ - целое число.

Если $$p = -3$$, то $$\frac{3}{p} = \frac{3}{-3} = -1$$, следовательно, $$4p+1+\frac{3}{p} = -12+1-1 = -12$$ - целое число.

Ответ: $$p = 1, -1, 3, -3$$