655. При каких значениях х верно равенство: a) (5x + 3)² = 5(x + 3); б) (3x + 10)² = 3(x + 10); в) (3x – 8)² = 3x² - 8x; г) (4x + 5)² = 5x² + 4x; д) (5х + 3)² = 5x + 3; e) (5x + 3)² = (3x + 5)²; ж) (4х + 5)² = 4(x + 5)²; з) (2x + 10)² = 4(x + 5)²?

a) (5x + 3)² = 5(x + 3)

Раскроем скобки:

$$25x^2+30x+9=5x+15$$ $$25x^2+25x-6=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = 0.2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 - 35}{50} = \frac{-60}{50} = -1.2$$

Ответ: x₁ = 0.2, x₂ = -1.2

б) (3x + 10)² = 3(x + 10)

Раскроем скобки:

$$9x^2+60x+100=3x+30$$ $$9x^2+57x+70=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 57^2 - 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 - 2520 = 729$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-57 + \sqrt{729}}{2 \cdot 9} = \frac{-57 + 27}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-57 - \sqrt{729}}{2 \cdot 9} = \frac{-57 - 27}{18} = \frac{-84}{18} = -4\frac{2}{3}$$

Ответ: x₁ = -1⅔, x₂ = -4⅔

в) (3x – 8)² = 3x² - 8x

Раскроем скобки:

$$9x^2-48x+64=3x^2-8x$$ $$6x^2-40x+64=0$$ $$3x^2-20x+32=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 - 384 = 16$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 4}{6} = \frac{24}{6} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 4}{6} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3}$$

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 2⅔

г) (4x + 5)² = 5x² + 4x

Раскроем скобки:

$$16x^2+40x+25=5x^2+4x$$ $$11x^2+36x+25=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 - 1100 = 196$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 + \sqrt{196}}{2 \cdot 11} = \frac{-36 + 14}{22} = \frac{-22}{22} = -1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 - \sqrt{196}}{2 \cdot 11} = \frac{-36 - 14}{22} = \frac{-50}{22} = -2\frac{3}{11}$$

Ответ: x₁ = -1, x₂ = -2³/₁₁

д) (5х + 3)² = 5x + 3

Раскроем скобки:

$$25x^2+30x+9=5x+3$$ $$25x^2+25x+6=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 - 600 = 25$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + \sqrt{25}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 + 5}{50} = \frac{-20}{50} = -0.4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - \sqrt{25}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 - 5}{50} = \frac{-30}{50} = -0.6$$

Ответ: x₁ = -0.4, x₂ = -0.6

e) (5x + 3)² = (3x + 5)²

Раскроем скобки:

$$25x^2+30x+9=9x^2+30x+25$$ $$16x^2-16=0$$ $$x^2-1=0$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1, x_2=-1$$

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1

ж) (4х + 5)² = 4(x + 5)²

Раскроем скобки:

$$16x^2+40x+25=4(x^2+10x+25)$$ $$16x^2+40x+25=4x^2+40x+100$$ $$12x^2-75=0$$ $$4x^2-25=0$$ $$4x^2=25$$ $$x^2=\frac{25}{4}$$ $$x_1= \frac{5}{2}=2.5, x_2=-\frac{5}{2}=-2.5$$

Ответ: x₁ = 2.5, x₂ = -2.5

з) (2x + 10)² = 4(x + 5)²?

Раскроем скобки:

$$4x^2+40x+100=4(x^2+10x+25)$$ $$4x^2+40x+100=4x^2+40x+100$$

Выражение верно при любом значении x.

Ответ: x ∈ (-∞; +∞)