654. Решите уравнение: a) 4x² + 7x + 3 = 0; б) x² + x - 56 = 0; в) x² - x - 56 = 0; г) 5x² – 18x + 16 = 0; д) 8x² + x – 75 = 0; e) 3x2 – 11x – 14 = 0; ж) 3x² + 11x – 34 = 0; з) x2 − x − 1 = 0.

Решим уравнения:

a) 4x² + 7x + 3 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} = -0.75$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1$$

Ответ: x₁ = -0.75, x₂ = -1

б) x² + x - 56 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Ответ: x₁ = 7, x₂ = -8

в) x² - x - 56 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Ответ: x₁ = 8, x₂ = -7

г) 5x² – 18x + 16 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$$

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 1.6

д) 8x² + x – 75 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-75) = 1 + 2400 = 2401$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 + 49}{16} = \frac{48}{16} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{2401}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 - 49}{16} = \frac{-50}{16} = -3.125$$

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -3.125

e) 3x² – 11x – 14 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 17}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

Ответ: x₁ = 4⅔, x₂ = -1

ж) 3x² + 11x – 34 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 121 + 408 = 529$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 23}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 23}{6} = \frac{-34}{6} = -5\frac{2}{3}$$

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -5⅔

з) x² − x − 1 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$