656. Решите уравнение и выполните проверку: a) x²-2x-5 = 0; б) x² + 4x +1 + 1 = 0; г) 5y² - 7y + 1 = 0; д) 2y² + 11y + 10 = 0; e) 4x² - 9x - 2 = 0.

a) x²-2x-5 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{2} = 1 + \sqrt{6}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{6}}{2} = 1 - \sqrt{6}$$

Проверим корни уравнения.

Проверка:

$$x_1 = 1 + \sqrt{6}$$ $$(1 + \sqrt{6})^2 - 2(1 + \sqrt{6}) - 5 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 7 = 0$$ $$x_2 = 1 - \sqrt{6}$$ $$(1 - \sqrt{6})^2 - 2(1 - \sqrt{6}) - 5 = 1 - 2\sqrt{6} + 6 - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 7 = 0$$

Ответ: x₁ = 1 + √6, x₂ = 1 - √6

б) x² + 4x + 1 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2\sqrt{3}}{2} = -2 + \sqrt{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2\sqrt{3}}{2} = -2 - \sqrt{3}$$

Проверим корни уравнения.

Проверка:

$$x_1 = -2 + \sqrt{3}$$ $$(-2 + \sqrt{3})^2 + 4(-2 + \sqrt{3}) + 1 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 8 - 8 = 0$$ $$x_2 = -2 - \sqrt{3}$$ $$(-2 - \sqrt{3})^2 + 4(-2 - \sqrt{3}) + 1 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 8 - 8 = 0$$

Ответ: x₁ = -2 + √3, x₂ = -2 - √3

г) 5y² - 7y + 1 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 - 20 = 29$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$$

Проверим корни уравнения.

Проверка:

$$y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}$$ $$5(\frac{7 + \sqrt{29}}{10})^2 - 7(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}) + 1 = 5(\frac{49 + 14\sqrt{29} + 29}{100}) - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78 + 14\sqrt{29}}{20} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{39 + 7\sqrt{29}}{10} - \frac{49 + 7\sqrt{29}}{10} + \frac{10}{10} = \frac{39 + 7\sqrt{29} - 49 - 7\sqrt{29} + 10}{10} = \frac{0}{10} = 0$$ $$y_2 = \frac{7 - \sqrt{29}}{10}$$ $$5(\frac{7 - \sqrt{29}}{10})^2 - 7(\frac{7 - \sqrt{29}}{10}) + 1 = 5(\frac{49 - 14\sqrt{29} + 29}{100}) - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{78 - 14\sqrt{29}}{20} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + 1 = \frac{39 - 7\sqrt{29}}{10} - \frac{49 - 7\sqrt{29}}{10} + \frac{10}{10} = \frac{39 - 7\sqrt{29} - 49 + 7\sqrt{29} + 10}{10} = \frac{0}{10} = 0$$

Ответ: y₁ = (7 + √29)/10, y₂ = (7 - √29)/10

д) 2y² + 11y + 10 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 - 80 = 41$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$$

Проверим корни уравнения.

Проверка:

$$y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}$$ $$2(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4})^2 + 11(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}) + 10 = 2(\frac{121 - 22\sqrt{41} + 41}{16}) + \frac{-121 + 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{162 - 22\sqrt{41}}{8} + \frac{-242 + 22\sqrt{41}}{8} + \frac{80}{8} = \frac{162 - 22\sqrt{41} - 242 + 22\sqrt{41} + 80}{8} = \frac{0}{8} = 0$$ $$y_2 = \frac{-11 - \sqrt{41}}{4}$$ $$2(\frac{-11 - \sqrt{41}}{4})^2 + 11(\frac{-11 - \sqrt{41}}{4}) + 10 = 2(\frac{121 + 22\sqrt{41} + 41}{16}) + \frac{-121 - 11\sqrt{41}}{4} + 10 = \frac{162 + 22\sqrt{41}}{8} + \frac{-242 - 22\sqrt{41}}{8} + \frac{80}{8} = \frac{162 + 22\sqrt{41} - 242 - 22\sqrt{41} + 80}{8} = \frac{0}{8} = 0$$

Ответ: y₁ = (-11 + √41)/4, y₂ = (-11 - √41)/4

e) 4x² - 9x - 2 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$$

Проверим корни уравнения.

Проверка:

$$x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}$$ $$4(\frac{9 + \sqrt{113}}{8})^2 - 9(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}) - 2 = 4(\frac{81 + 18\sqrt{113} + 113}{64}) - \frac{81 + 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{194 + 18\sqrt{113}}{16} - \frac{162 + 18\sqrt{113}}{16} - \frac{32}{16} = \frac{194 + 18\sqrt{113} - 162 - 18\sqrt{113} - 32}{16} = \frac{0}{16} = 0$$ $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{8}$$ $$4(\frac{9 - \sqrt{113}}{8})^2 - 9(\frac{9 - \sqrt{113}}{8}) - 2 = 4(\frac{81 - 18\sqrt{113} + 113}{64}) - \frac{81 - 9\sqrt{113}}{8} - 2 = \frac{194 - 18\sqrt{113}}{16} - \frac{162 - 18\sqrt{113}}{16} - \frac{32}{16} = \frac{194 - 18\sqrt{113} - 162 + 18\sqrt{113} - 32}{16} = \frac{0}{16} = 0$$

Ответ: x₁ = (9 + √113)/8, x₂ = (9 - √113)/8