6. При каких значениях параметра a уравнение \frac{x² - 4}{x + a} = 0 имеет единственное решение?

Решаем уравнение \[\frac{x^2 - 4}{x + a} = 0\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, нужно решить уравнение:

\[x^2 - 4 = 0\]

И убедиться, что корни не равны -a.

\[x^2 = 4\]

\[x = \pm 2\]

Теперь рассмотрим два случая:

1) x = 2 не является решением, то есть 2 = -a, следовательно, a = -2.

2) x = -2 не является решением, то есть -2 = -a, следовательно, a = 2.

Если a = -2, то уравнение принимает вид \[\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0\]

\[\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 0\]

Тогда x = -2 является единственным решением.

Если a = 2, то уравнение принимает вид \[\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0\]

\[\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = 0\]

Тогда x = 2 является единственным решением.

Ответ: a = -2, a = 2

Проверка за 10 секунд: Подставь значения a в исходное уравнение и убедись, что уравнение имеет единственное решение.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Анализируй каждый случай, когда корень числителя совпадает с корнем знаменателя. Это ключ к решению!