6*. При каком значении х значения выражений х - 3, х + 4 и 2 х - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение:

Смотри, тут всё просто: если три числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, то квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.

Пошаговое решение:

1. Составим уравнение:
   \[ (x + 4)^2 = (x - 3)(2x - 40) \]
   \[ x^2 + 8x + 16 = 2x^2 - 40x - 6x + 120 \]
   \[ x^2 + 8x + 16 = 2x^2 - 46x + 120 \]
   \[ 0 = x^2 - 54x + 104 \]
2. Решим квадратное уравнение:
   \[ x^2 - 54x + 104 = 0 \]
   \[ D = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 104 = 2916 - 416 = 2500 \]
   \[ x_1 = \frac{54 + 50}{2} = \frac{104}{2} = 52 \]
   \[ x_2 = \frac{54 - 50}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
3. Проверим найденные значения x:
   Если \( x = 52 \), то члены прогрессии: \( 52 - 3 = 49 \), \( 52 + 4 = 56 \), \( 2 \cdot 52 - 40 = 64 \).
   \[ \frac{56}{49} = \frac{8}{7} \]
   \[ \frac{64}{56} = \frac{8}{7} \]
   Если \( x = 2 \), то члены прогрессии: \( 2 - 3 = -1 \), \( 2 + 4 = 6 \), \( 2 \cdot 2 - 40 = -36 \).
   \[ \frac{6}{-1} = -6 \]
   \[ \frac{-36}{6} = -6 \]

Ответ: при \( x = 52 \) члены прогрессии 49, 56, 64; при \( x = 2 \) члены прогрессии -1, 6, -36.