164. При какой скорости электрона его релятивистский импульс в 3 раза больше нерелятивистского импульса?

Решение:

Релятивистский импульс: \[ p = \frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Нерелятивистский импульс: \[ p_0 = mv \]

По условию: \[ p = 3p_0 \]

Тогда: \[ \frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 3mv \]

Сокращаем на mv: \[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 3 \]

Возводим обе части в квадрат: \[ \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 9 \]

Преобразуем: \[ 1 = 9(1 - \frac{v^2}{c^2}) \]

\[ \frac{1}{9} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \]

\[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

\[ v^2 = \frac{8}{9}c^2 \]

\[ v = \sqrt{\frac{8}{9}}c = \frac{2\sqrt{2}}{3}c \]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}c\)