При некоторых целых a, b, c число 3a + 4b + 5c делится на 11. Докажите, что тогда и число 9a + b + 4c будет делиться на 11.

Утверждение неверно. Контрпример: возьмём a = 1, b = 2, c = 0. Тогда 3a + 4b + 5c = 11 делится на 11, но 9a + b + 4c = 11 также делится на 11 — этот пример не опровергает утверждение.

Проверим корректность утверждения на коэффициентах по модулю 11. Если 3a + 4b + 5c ≡ 0, то умножение на 3 даёт 9a + 12b + 15c ≡ 9a + b + 4c (mod 11). Следовательно, выражение 9a + b + 4c делится на 11.

Ответ: доказано: 9a + b + 4c = 3(3a + 4b + 5c) − 11b − 11c.