При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 часов. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, первому крану для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?

Решение:

Пусть \( t_2 \) — время, за которое второй кран разгружает баржу. Тогда время, за которое первый кран разгружает баржу, равно \( t_1 = t_2 + 5 \).

Производительность первого крана: \( \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_2+5} \) баржи в час.

Производительность второго крана: \( \frac{1}{t_2} \) баржи в час.

При совместной работе они разгружают баржу за 6 часов, то есть их совместная производительность равна \( \frac{1}{6} \) баржи в час.

Составим уравнение:

\[ \frac{1}{t_2+5} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \]

Приведём к общему знаменателю \( 6t_2(t_2+5) \):

\[ 6t_2 + 6(t_2+5) = t_2(t_2+5) \]

\[ 6t_2 + 6t_2 + 30 = t_2^2 + 5t_2 \]

\[ 12t_2 + 30 = t_2^2 + 5t_2 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ t_2^2 + 5t_2 - 12t_2 - 30 = 0 \]

\[ t_2^2 - 7t_2 - 30 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \).

Корни:

\[ t_{2,1} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

\[ t_{2,2} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Так как время не может быть отрицательным, \( t_2 = 10 \) часов.

Тогда время первого крана \( t_1 = t_2 + 5 = 10 + 5 = 15 \) часов.

Ответ: первый кран — 15 часов, второй кран — 10 часов.