Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 2700.

Решение:

Пусть угол сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса, равен $$270^\circ$$.

Отношение длины дуги сектора к длине окружности основания конуса равно отношению угла сектора к полному углу:

$$\frac{270^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{4}$$

Это означает, что радиус основания конуса составляет $$\frac{3}{4}$$ от образующей конуса:

$$r = \frac{3}{4}l$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса h, радиусом основания r и образующей l.

Пусть угол между образующей и высотой конуса равен $$\alpha$$. Тогда

$$sin(\alpha) = \frac{r}{l} = \frac{\frac{3}{4}l}{l} = \frac{3}{4}$$

$$\alpha = arcsin(\frac{3}{4})$$

Ответ: $$arcsin(\frac{3}{4})$$