Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р.

Решение:

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, высота равна $$h$$. Периметр осевого сечения равен $$2p$$. Тогда

$$2(2r + h) = 2p$$

$$2r + h = p$$

$$h = p - 2r$$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$S = 2\pi rh$$. Подставим выражение для h:

$$S = 2\pi r(p - 2r) = 2\pi (pr - 2r^2)$$.

Найдем производную S по r и приравняем ее к нулю:

$$\frac{dS}{dr} = 2\pi (p - 4r) = 0$$

$$p - 4r = 0$$

$$r = \frac{p}{4}$$.

Найдем высоту h:

$$h = p - 2r = p - 2 \cdot \frac{p}{4} = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$$.

Ответ: $$r = \frac{p}{4}$$, $$h = \frac{p}{2}$$