Пример 1.10. Даны векторы \(\vec a=4\vec i+4\vec k\) и \(\vec b=-\vec i+3\vec j+2\vec k\). Необходимо: а) вычислить скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(3\vec b\); б) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

Запишем векторы в координатах: \(\vec a=(4,0,4)\), \(\vec b=(-1,3,2)\).

а) Сначала найдём \(3\vec b=(-3,9,6)\). Тогда

\(\vec a\cdot(3\vec b)=4\cdot(-3)+0\cdot9+4\cdot6=-12+24=12\).

б) Проверим ортогональность по скалярному произведению:

\(\vec a\cdot\vec b=4\cdot(-1)+0\cdot3+4\cdot2=-4+8=4\ne0\), поэтому векторы не ортогональны.

Для коллинеарности координаты одного вектора должны быть пропорциональны координатам другого. Но из первых координат следовало бы, что коэффициент пропорциональности равен \(-1/4\), тогда как из третьих — \(4/2=2\). Коэффициенты различны, поэтому векторы не коллинеарны.

Ответ: а) \(12\); б) векторы не коллинеарны и не ортогональны.