Пример 1. Определите все значения параметра a, при которых система ((a + 3)x − 2y = −6; (a − 3)x + ay = 3): 1) имеет единственное решение; 2) решений не имеет; 3) имеет бесчисленное множество решений.

Определитель системы:

\(D=(a+3)a-(-2)(a-3)=a^2+5a-6=(a+6)(a-1)\).

1. Единственное решение существует при \(D\ne0\):

   \(a\ne-6\) и \(a\ne1\).

   Ответ: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-6;1\}\).

2. При \(a=-6\) получаем систему:

   \(-3x-2y=-6\), \(-9x-6y=3\).

   Умножение первого уравнения на 3 даёт \(-9x-6y=-18\), что противоречит второму уравнению. Поэтому решений нет.

   Ответ: \(a=-6\).

3. При \(a=1\) получаем:

   \(4x-2y=-6\), \(-2x+y=3\).

   Второе уравнение, умноженное на \(-2\), совпадает с первым. Следовательно, уравнения задают одну прямую.

   Ответ: \(a=1\).