Пример 4. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 16. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.

Пусть основания трапеции имеют длины \(a\) и \(b\), а горизонтальное смещение верхнего основания относительно нижнего равно \(x\); высота равна \(h\). Средняя линия даёт только условие \(a+b=32\).

Расположим вершины так: \(D=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(C=(x,h)\), \(B=(x+b,h)\). Перпендикулярность диагоналей означает \((x-a)(x+b)+h^2=0\). Длина отрезка между серединами оснований равна \(\frac12\sqrt{(x+b-a)^2+h^2}\). Эти условия не определяют эту длину однозначно.

Например, при основаниях 20 и 12 можно взять \(x=0\), \(h=\sqrt{240}\): диагонали перпендикулярны, средняя линия равна 16, а искомый отрезок имеет длину \(\sqrt{244}\). При тех же основаниях можно взять \(x=10\), \(h=\sqrt{300}\); условия снова выполнены, но искомая длина равна \(\sqrt{109}\). Следовательно, в условии не хватает данных.