Пример 7. Решите неравенство: 1) (4x+1)(x-2)>-5; 2) (x-6)² ≥ (6x-1)²; 3) x²(-x²-16) ≤ 100(-x²-16); 4) x²/4 < (4x-5)/3.

Пример 7. Решение неравенств

1) (4x+1)(x-2)>-5;

Решение:

1. Раскроем скобки: \( 4x^2 - 8x + x - 2 > -5 \).
2. \( 4x^2 - 7x - 2 > -5 \).
3. \( 4x^2 - 7x + 3 > 0 \).
4. Найдем корни квадратного трехчлена \( 4x^2 - 7x + 3 = 0 \).
5. Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(4)(3) = 49 - 48 = 1 \). \( √{D} = 1 \).
6. \( x_1 = \frac{7+1}{2(4)} = 1 \), \( x_2 = \frac{7-1}{2(4)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
7. Так как ветви параболы \( y = 4x^2 - 7x + 3 \) направлены вверх, неравенство \( >0 \) выполняется при \( x < \frac{3}{4} \) или \( x > 1 \).

Ответ: \( x < \frac{3}{4} \) или \( x > 1 \).

2) (x-6)² ≥ (6x-1)²;

Решение:

1. Перенесем все в одну сторону: \( (x-6)^2 - (6x-1)^2 >= 0 \).
2. Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):
3. \( ((x-6) - (6x-1))((x-6) + (6x-1)) >= 0 \).
4. \( (x-6-6x+1)(x-6+6x-1) >= 0 \).
5. \( (-5x-5)(7x-7) >= 0 \).
6. \( -5(x+1) × 7(x-1) >= 0 \).
7. \( -35(x+1)(x-1) >= 0 \).
8. Разделим на -35 и сменим знак неравенства: \( (x+1)(x-1) <= 0 \).
9. Корни: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
10. Парабола \( y = (x+1)(x-1) \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( <= 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( [-1; 1] \).

3) x²(-x²-16) ≤ 100(-x²-16);

Решение:

1. Перенесем все в одну сторону: \( x^2(-x^2-16) - 100(-x^2-16) <= 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( (-x^2-16) \):
3. \( (-x^2-16)(x^2-100) <= 0 \).
4. Заметим, что \( -x^2-16 \) всегда отрицательно, так как \( x^2 >= 0 \), значит \( -x^2 <= 0 \), и \( -x^2-16 < 0 \).
5. Чтобы произведение было \( <= 0 \), второй множитель \( (x^2-100) \) должен быть \( >= 0 \).
6. \( x^2-100 >= 0 \).
7. \( x^2 >= 100 \).
8. \( x <= -10 \) или \( x >= 10 \).

Ответ: \( (-∞; -10] ∪ [10; +∞) \).

4) x²/4 < (4x-5)/3.

Решение:

1. Приведем к общему знаменателю 12:
2. \( \frac{3x^2}{12} < \frac{4(4x-5)}{12} \).
3. \( 3x^2 < 16x - 20 \).
4. \( 3x^2 - 16x + 20 < 0 \).
5. Найдем корни квадратного трехчлена \( 3x^2 - 16x + 20 = 0 \).
6. Дискриминант \( D = (-16)^2 - 4(3)(20) = 256 - 240 = 16 \). \( √{D} = 4 \).
7. \( x_1 = \frac{16+4}{2(3)} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \), \( x_2 = \frac{16-4}{2(3)} = \frac{12}{6} = 2 \).
8. Так как ветви параболы \( y = 3x^2 - 16x + 20 \) направлены вверх, неравенство \( < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( (2; \frac{10}{3}) \).