Пример 7. Решить систему: \(\begin{cases} \frac{p+3}{4} - \frac{q-2}{6} = 1 \\ \frac{p-1}{8} + \frac{q+1}{6} = 2 \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы упростим уравнения, приведя дроби к общему знаменателю.

1. Умножим первое уравнение на общий знаменатель 12:
\[ 12 \left( \frac{p+3}{4} - \frac{q-2}{6} \right) = 12 \cdot 1 \]\[ 3(p+3) - 2(q-2) = 12 \]\[ 3p + 9 - 2q + 4 = 12 \]\[ 3p - 2q + 13 = 12 \]\[ 3p - 2q = 12 - 13 \]\[ 3p - 2q = -1 \]
2. Умножим второе уравнение на общий знаменатель 24:
\[ 24 \left( \frac{p-1}{8} + \frac{q+1}{6} \right) = 24 \cdot 2 \]\[ 3(p-1) + 4(q+1) = 48 \]\[ 3p - 3 + 4q + 4 = 48 \]\[ 3p + 4q + 1 = 48 \]\[ 3p + 4q = 48 - 1 \]\[ 3p + 4q = 47 \]
3. Теперь решим полученную систему методом сложения:
\[ \begin{cases} 3p - 2q = -1 \\ 3p + 4q = 47 \end{cases} \]
4. Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (3p + 4q) - (3p - 2q) = 47 - (-1) \]\[ 3p + 4q - 3p + 2q = 47 + 1 \]\[ 6q = 48 \]\[ q = \frac{48}{6} \]\[ q = 8 \]
5. Подставим найденное значение \(q\) в первое уравнение \(3p - 2q = -1\):
\[ 3p - 2(8) = -1 \]\[ 3p - 16 = -1 \]\[ 3p = -1 + 16 \]\[ 3p = 15 \]\[ p = \frac{15}{3} \]\[ p = 5 \]

Ответ: \( p = 5, q = 8 \).