Проехав треть пути, пассажир скорого поезда заснул. Когда он проснулся, до станции назначения оставалось проехать половину того расстояния, которое отделяло его от станции назначения, когда он заснул. Какую часть пути проехал поезд, пока пассажир спал?

Решение:

1. Пусть весь путь равен 1.
2. Пассажир заснул, проехав \frac{1}{3} пути.
3. Осталось проехать $$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ пути.
4. Когда проснулся, осталось проехать половину того, что оставалось, когда заснул, то есть $$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ пути.
5. Тогда, пассажир проспал $$ \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ пути.

Ответ: \frac{1}{3} пути.