Прототип 3. Решите уравнение \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0\).

Область допустимых значений: \(x\ne 1\). Сделаем замену \(t=\frac{1}{x-1}\). Тогда получаем квадратное уравнение \(t^2+4t-12=0\).

Разложим на множители: \((t+6)(t-2)=0\), откуда \(t=-6\) или \(t=2\).

Возвращаемся к переменной \(x\). Если \(\frac{1}{x-1}=-6\), то \(x-1=-\frac{1}{6}\) и \(x=\frac{5}{6}\). Если \(\frac{1}{x-1}=2\), то \(x-1=\frac{1}{2}\) и \(x=\frac{3}{2}\). Оба значения допустимы.

Ответ: \(x=\frac{5}{6}\) или \(x=\frac{3}{2}\).