Прямая a касается окружности в точке B (см. рисунок). Найдите \( ∠ AOB \), если \( ∠ ABC = 80^{\circ} \).

Решение:

В данном случае, \( ∠ ABC \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.

Угол \( ∠ AOC \) является центральным углом, опирающимся на ту же дугу AC.

Связь между центральным и вписанным углом, опирающимися на одну дугу, следующая: центральный угол в два раза больше вписанного угла.

\[ ∠ AOC = 2 ∠ ABC \]

Так как \( ∠ ABC = 80^{\circ} \), то:

\[ ∠ AOC = 2 \times 80^{\circ} = 160^{\circ} \]

Однако, на рисунке угол \( ∠ ABC \) не является вписанным углом, опирающимся на дугу AC, а скорее является углом между хордой AB и касательной AC. В такой ситуации, угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду (теорема о касательной и хорде).

Если \( ∠ ABC = 80^{\circ} \) (где AC - касательная, AB - хорда), то вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен 80°.

Центральный угол \( ∠ AOB \), опирающийся на ту же дугу AB, равен удвоенному вписанному углу.

\[ ∠ AOB = 2 ∠ ACB \]

Если \( ∠ ABC = 80^{\circ} \) (угол между касательной AC и хордой AB), то вписанный угол \( ∠ ADB \), опирающийся на хорду AB, также равен 80°.

Центральный угол \( ∠ AOB \) равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу AB.

\[ ∠ AOB = 2 \times (\text{вписанный угол, опирающийся на дугу AB}) \]

По теореме о касательной и хорде, угол между касательной AC и хордой AB равен вписанному углу, опирающемуся на хорду AB. Пусть D - точка на окружности. Тогда \( ∠ ABC = ∠ ADB \). Таким образом, \( ∠ ADB = 80^{\circ} \).

Центральный угол \( ∠ AOB \) равен удвоенному вписанному углу \( ∠ ADB \), опирающемуся на дугу AB.

\[ ∠ AOB = 2 \times ∠ ADB = 2 \times 80^{\circ} = 160^{\circ} \]

Ответ: 160°