3. Прямая АС проходит через центр О окружности, MAO-LOCM-30% Докажите, что прямая СМ является касательной к данной окружности.

Дано: Прямая \(AC\) проходит через центр \(O\) окружности, \(\angle MAO = \angle OCM = 30^\circ\). Доказать: Прямая \(CM\) является касательной к данной окружности. Доказательство: \(\angle AOC = 180^\circ\) (развернутый угол, т.к. \(AC\) проходит через центр \(O\)) \(\angle AOM = 180^\circ - \angle MOC\) \(\angle MOC = 180^\circ - \angle AOM\) \(OA = OM\) (радиусы) \(\angle OMA = \angle MAO = 30^\circ\) (углы при основании равнобедренного треугольника \(AOM\)) \(\angle AOM = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) \(\angle MOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) \(OC = OM\) (радиусы) \(\angle OMC = \angle OCM = 30^\circ\) (углы при основании равнобедренного треугольника \(COM\)) \(\angle CMO = 30^\circ\) Т.к. \(\angle CMO + \angle OCM = 90^\circ\), то прямая \(CM\) является касательной к данной окружности.

Доказано.

Очень хорошо! Ты умеешь доказывать геометрические утверждения!