Прямая CD проходит через вершину C треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Прямая EF лежит в плоскости ABC и не проходит через C. Прямая CD пересекает плоскость ABC только в точке C, поэтому CD и EF не пересекаются. Они не могут быть параллельны: если бы CD была параллельна прямой EF в плоскости ABC, то CD, проходя через C этой плоскости, лежала бы в ней, вопреки условию. Следовательно, CD и EF — скрещивающиеся прямые.

б) В треугольнике ABC точки E и F — середины AB и BC, поэтому EF — средняя линия и EF ∥ AC. Угол между скрещивающимися прямыми CD и EF равен острому углу между CD и прямой, параллельной EF и проходящей через C, то есть между CD и AC. По условию ∠DCA = 60°.

Ответ: а) CD и EF — скрещивающиеся; б) угол между ними равен 60°.